2 0 1 2 — október - matematika érettségi feladatok - A rész 15. feladat (12 pont)

15.feladat a)

2012. október 16., kedd

Legyenek `f` és `g` a valós számok halmazán értelmezett függvények, továbbá: `f(x) = 5x + 5,25`, `g(x) = x^2 + 2x + 3,5`.

a) Számítsa ki az alábbi táblázatok hiányzó értékeit! (3 pont)

Mutat / Bezár

fold faqA megoldás:

 

15.feladat b)

2012. október 16., kedd

b) Adja meg a `g` függvény értékkészletét! (3 pont)

Mutat / Bezár

fold faqA megoldás:

 

15.feladat c)

2012. május 8., kedd

Oldja meg az `5x + 5,25 > x^2 + 2x + 3,5` egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! (6 pont)

Mindent mutat / Mindent bezár

fold faqA megoldás (redukálás 0-ra, majd a másodfokú egyenlet megoldóképlete segítségével).
fold faqGrafikus megoldás:
fold faqTeljes négyzetté kiegészítés segítségével

 

Képletek és tételek

a 15. feladathoz

A másodfokú egyenlet megoldóképlete:

 `ax^2 + bx + c = 0 =>` Diszkrimináns: `D = b^2 - 4ac`

 a megoldások száma: `D > 0 <=>` 2 megoldás, `D = 0 <=>` 1 megoldás,

  `D < 0 <=>` 0 megoldás a valós számok halmazán (`RR`).

A megoldóképlet: `x_(1,2)=(-b+-sqrt(D))/(2a)`.

Kiegészítés teljes négyzetté

Lépésenként

A másodfokú kifejezés: `ax^2+bx+c` és `a != 0`

 Kiemelünk `a`-t: `ax^2+bx+c = a(x^2+b/a*x+c/a) =`

Hozzáadjuk és levonjuk a második tag négyzetét:

 `= a(x^2+2*(b/(2a))x+(b/(2a))^2-(b/(2a))^2+c/a)=`

Alkalmazzuk a kéttagú összeg négyzetének képletét!

 `= a[(x + b/(2a))^2 - (b^2)/(4a^2) + (4ac)/(4a^2)] =`

Összevonjuk a két utolsó tagot!

 `= a[(x + b/(2a))^2 - (b^2 - 4ac)/(4a^2) ] =`

Szorzunk `a`-val a szögletes zárójelen belülre!

 `= a(x + b/(2a))^2 - (b^2 - 4ac)/(4a)`

A végső alak: `f(x) = a(x - u)^2 + v`:

 `= a(x - (-b/(2a)))^2 - (b^2 - 4ac)/(4a)`, ahol `u = -b/(2a)` és `v = - (b^2 - 4ac)/(4a)`.

A parabola ábrázolása a fentiek segítségével:

  `a >< 0 =>` felfelé/lefelé nyitott parabola;
  `vec v (-b/(2a); - (b^2 - 4ac)/(4a) )` a tengelypont eltolásvektora