Forgásszög szinusza, koszinusza

Forgásszög

Definíció, jelölések

Használat: Az `O, A` pontok rögzítettek, a `B` pont mozgatható egyrészt az `OB` félegyenesen, másrészt a síkban. A szögtartományt a zöld körcikk mutatja. A forgásirány most pozitív.

A forgásszög

2007. május 8., kedd

A geometriában megismerkedtünk a hegyesszögek szögfüggvényeivel. Most ezeket a definíciókat tetszőleges forgásszögekre terjesztjük ki, természetesen ügyelve arra, hogy a hegyesszögekre a régi definíció érvényben maradjon. A forgásszögeket valós számokkal tudjuk mérni, ez az ívmérték.
A síkban kétféle irányban forgathatunk el egy félegyenest kezdőpontja körül. Ez a két forgásirány egymással ellentétes. Ha a síkban egy forgásirányt adunk meg, ezt pozitívnak és az ellentétes forgásirányt negatívnak mondva, akkor a síkot irányítottnak nevezzük. Ha a síkra egyik oldaláról nézünk, akkor azt a forgásirányt nevezzük pozitívnak, amelyik arról az oldalról nézve az óramutató forgásával (járásával) ellentétes (retrográd forgásirány).
Ha a síkban egy félegyenes kezdőpontja körül forogva egy kezdő helyzetből egy véghelyzetbe jut, forgásszöget ír le. A forgó szár kezdő és véghelyzetét a forgásszög kezdőszárának és végszárának mondjuk. A forgásszög megadásánál annak a felsorolására van szükség, hogy a forgó félegyenes milyen szögtartományokat, milyen irányú forgással és hányszorosan súrol. Jelöléssel: az `AOB``∠` azt is mutatja, hogy `OA` a kezdőszár és `OB` a végszár.

Forgásszögek szinusza, koszinusza

Értelmezés

Definíció: A síkbeli koordináta-rendszerben a bázisvektorok legyenek `vec i` és `vec j`. Az `vec i` egységvektort pozitív irányú 90°-os elforgatás vigye `vec j`-be. Azt az `vec e` egységvektort tekintjük, amely `alpha` mértékű elforgatással keletkezik az `vec i` vektorból. Az `vec e` vektor koordinátái `alpha` értékétől függenek. Az `vec e` vektor első koordinátáját az `alpha` szög koszinuszának (cosinus), a másodikat az `alpha` szög szinuszának nevezzük. Jelük: `cos alpha` és `sin alpha`: `vec e(cos alpha; sin alpha)`.

 Prezentáció

GeoGebra alkalmazás
Segítség: A jobb felső sarokban található ellipszissel visszaállítható a kezdeti állapot.

Szögfüggvények egységkörös definíciója

2007. május 8., kedd


Magyarázó szöveg

Egységvektor koordinátái

Az ábrán jelentősen felnagyítva látszik a koordináta-rendszer origójánál található egységsugarú kör, másképp `egységkör`, és a két bázisvektor: az `vec i` és `vec j`.

Használat: az egységkörön lévő P pontot lehet mozgatni az egér segítségével, beállítva különböző forgásszögeket.
Az `alpha` szöggel elforgatott `vec e` egységvektor első koordinátája (e1) lesz a `cosalpha`, míg a második koordináta (e2) `sin alpha`.

Feladat: Rajzold meg annak a függvénynek a grafikonját, ami az elforgatás szögéhez hozzárendeli a forgásszög szinuszát ill. koszinuszát!

Segítség: egy fekvő lapot használj. Az első tengelyen a forgásszögeket ábrázold a `[0;360°]` intervallumon, a második tengelyen a `sin alpha` ill. a `cos alpha` értékét! Az értékek készlete a `[-1;1]` intervallum lesz. A szögek 10°-onként legyenek ábrázolva!

Számolás

Szinusz és koszinusz értékek

 A forgásszög első koordinátája `=>`

 A forgásszög első koordinátája `=>`

Használat: a kalkulátor csak radiánban dolgozik (ezért kell megszorozni `pi/180`-al a `fok`ban megadott szögeket).
A lehetséges konstansok és függvények:
+, -, *, /, ^, pi, e, sqrt(), ln(), abs(), sign(), floor(), ceil(), n!, C(n,k), ran(a,b,n) sin(), cos(), tan(), sin^-1(), cos^-1(), tan^-1(), sinh(), cosh(), tanh(), sinh^-1(), cosh^-1(), tanh^-1() sec(), csc(), cot(), sec^-1(), csc^-1(), cot^-1(), sech(), csch(), coth(), sech^-1(), csch^-1(), coth^-1()
Az értékek tárolásához változókat kell használni. A `;` (pontosvessző)-vel választjuk el a kifejezéseket.

 PROGRAM

GeoGebra - osztrák program

A program honlapja

A geometriai szerkesztő program segítségével készültek az ábrázolások.