Trigonometrikus alapegyenletek

A trigonometrikus egyenlet fogalma

2007. május 25., péntek

Az olyan egyenleteket, melyekben az ismeretlen valamely szögfüggvénye szerepel, trigonometrikus egyenleteknek nevezzük.
Ehhez a tanegységhez tudnod kell a következőket: a szinuszfüggvény, koszinuszfüggvény, tangensfüggvény grafikonja, tulajdonságai kapcsolatok a szögfüggvények között (pitagoraszi azonosság, a tangens felírása szinusszal és koszinusszal) kiemelés (algebrai átalakítás) egyenletmegoldási módszerek (mérlegelv, szorzattá alakítás, grafikus módszer) a másodfokú egyenlet megoldóképlete.

`sin(x)=a`

Gyakorlat

A címben látható egyenletben - eltérően az eddigiektől -, az `x` változóval jelöltük a szöget, utalva arra, hogy a szög az ismeretlen és a szögfüggvény értéke adott (`a`).

Ívmérték - radián

Definíciók, számolás

Magyarázat

 

A `sin(x)=a` egyenlet jelentése szöveggel: keressük azokat a forgásszögeket, amelyek szinusza `a`. Mivel a forgásszög szinusza az elforgatott `vec i` bázisvektor második koordinátája, ezért azokat a pontokat kell keresni az egységkörön, amelyek második (`y`) koordinátája `a`. Ezek a pontok az `y=a` egyenesen helyezkednek el, az egyenes párhuzamos az első tengellyel és tőle `a` távolságban halad az `a` szám előjelének megfelelően (ha `a>0`, akkor felette; ha `a<0`, akkor alatta; ha `a=0`, akkor az egyenes maga az x-tengely).

Példa: legyen `a=-0,6`. Ekkor megoldandó a `sin(x)=-0,6` egyenlet. A Futópont segítségével állítsuk be az említett értéket. Az egyenes két pontban metszi az egységkört, a III. ill. IV. síknegyedben. Rajzoljuk be az `M_1, M_2` metszéspontokba mutató egységvektorokat: `vec e_1, vec e_2`.
Nézzük meg számológépünk milyen értéket mutat.

Definíció: Azt a szöget, melynek szinusza `a`-val egyenlő, arkusz szinusz a-nak nevezzük és `arcsin(a)`-val jelöljük.
A számológépeken ezt a függvényt `sin^-1`-gyel jelölik.

Visszatérve számpéldánkhoz: `arcsin(-0,6)=-36,87°`. Az így kapott szög és az ábra elemzéséből (az `vec e_1, vec e_2` vektorok egymás tükörképei az y tengelyre) kiderül: `beta=180°+36,87°=216,9°` ill. `alpha=360°-36,87°=323,1°`. A szinuszfüggvény periodikussága miatt mindkét (kezdő)értékhez hozzá kell adni a 360° egészszám-szorosát.

Megjegyzés: ha az `a` értéke más (pozitív vagy 0), akkor az eljárás eleje megegyezik, de az ábra elemzéséből kell következtetni az `alpha, beta` végső értékeire. Azonban mindkét esetben két számsorozatot kapunk megoldásként (végtelen sok megoldás).

FONTOS: ha `a!in[-1;1]`, azaz `a>1` vagy `a<-1`, akkor az egyenletnek nincs megoldása.

 

`cos(x)=b`

Gyakorlat

A címben látható egyenletben - eltérően az eddigiektől -, az `x` változóval jelöltük a szöget, utalva arra, hogy a szög az ismeretlen és a szögfüggvény értéke adott (`b`).

Ívmérték - radián

Definíciók, számolás

Magyarázat

 

A `cos(x)=b` egyenlet jelentése szöveggel: keressük azokat a forgásszögeket, amelyek koszinusza `b`. Mivel a forgásszög koszinusza az elforgatott `vec i` bázisvektor első koordinátája, ezért azokat a pontokat kell keresni az egységkörön, amelyek első (`y`) koordinátája `b`. Ezek a pontok az `x=b` egyenesen helyezkednek el, az egyenes párhuzamos a második tengellyel és tőle `b` távolságban halad a `b` szám előjelének megfelelően (ha `b>0`, akkor jobbra; ha `b<0`, akkor balra; ha `b=0`, akkor az egyenes maga az y-tengely).

Példa: legyen `b=0,5`. Ekkor megoldandó a `cos(x)=0,5` egyenlet. A Futópont segítségével állítsuk be az említett értéket. Az egyenes két pontban metszi az egységkört, az I. ill. IV. síknegyedben. Rajzoljuk be az `M_1, M_2` metszéspontokba mutató egységvektorokat: `vec e_1, vec e_2`.
Nézzük meg számológépünk milyen értéket mutat.

Definíció: Azt a szöget, melynek koszinusza `b`-vel egyenlő, arkusz koszinusz b-nek nevezzük és `arc cos(b)`-val jelöljük.
A számológépeken ezt a függvényt `cos^-1`-gyel jelölik.

Visszatérve számpéldánkhoz: `arccos(0,5)=60°`. Az így kapott szög és az ábra elemzéséből (az `vec e_1, vec e_2` vektorok egymás tükörképei az x tengelyre) kiderül: `beta=360°-60°=300°` ill. `alpha=60°`. A koszinuszfüggvény periodikussága miatt mindkét (kezdő)értékhez hozzá kell adni a 360° egészszám-szorosát.

Megjegyzés: ha a `b` értéke más (negatív vagy 0), akkor az eljárás eleje megegyezik, de az ábra elemzéséből kell következtetni az `alpha, beta` végső értékeire. Azonban mindkét esetben két számsorozatot kapunk megoldásként (végtelen sok megoldás).

FONTOS: ha `b!in[-1;1]`, azaz `b>1` vagy `b<-1`, akkor az egyenletnek nincs megoldása.


 PROGRAM

GeoGebra osztrák program

A program honlapja

A geometriai szerkesztő program segítségével készültek az ábrázolások.

Az oldalon használt Geogebra fájlok letöltése