Vektorok

Vektorok

Definíció, jelölések

A vektorok a geometria tárgyalásának igen jól használható segédeszközei. A vektorokkal, összegükkel, különbségükkel, számszorosukkal foglalkozunk, majd a vektorok felbontásáról és koordinátáik bevezetéséről lesz szó.
Az irányított szakaszokat vektoroknak mondjuk. Beszélhetünk tehát a vektor kezdőpontjáról, végpontjáról, (előjel nélküli) hosszáról, állásáról és irányáról. A vektor hosszát a vektor abszolút értékének is mondjuk. Az egységnyi hosszúságú vektort egységvektornak mondjuk. Ha vektorok szögéről beszélünk, ez mindig az irányuk által alkotott szöget jelenti.
Az $vec(AB)$ az A kezdőpontú és B végpontú vektort jelöli. Ha a vektorokat egy betűvel jelöljük, a nyomtatásban vastag kisbetűt használunk. Elterjedt szokás, hogy a vektort jelölő betű vastagítását a betű aláhúzásával pótoljuk vagy nyilat helyezünk a vektor neve fölé: $vec(AB)=vec v$. Rajzban a vektorokat nyíllal ábrázoljuk, a nyílhegyet az irányított szakasz végpontjához helyezzük. A $vec v$ hosszát ${:|vec v|:}$ jelöli.

Vektorok egyenlősége, párhuzamossága

Definíciók

Két vektort azonosnak tekintünk és egyenlőnek mondunk, ha hosszuk és irányuk megyegyezik. Mondhatjuk tehát, hogy a vektort hossza és iránya jellemzi, s hogy a párhuzamos eltolás a vektort nem változtataja meg. Az egy irányú és az ellentétes irányú vektorok állása megegyezik. Párhuzamosnak mondunk két vektort, egy vektort és egy egyenest, valamint egy vektort és egy síkot, ha állásuk megegyezik, illetőleg párhuzamos.

Vektoriális mennyiség

Skaláris mennyiség

A vektort irányított mennyiségnek vagy vektoriális mennyiségnek is mondjuk. Ha hangsúlyozni akarjuk, hogy nem vektorról van szó, akkor a valós számot skalárnak, skaláris mennyiségnek mondjuk, utalva arra, hogy skálán ábrázolható.
A sík és a tér minden eltolásához egy-egy vektor tartozik, azaz ez az eltolásvektor ezt a transzformációt egyértelműen meghatározza.

A nullvektor

Definíció

Vektornak mondjuk a nullvektort is, amelynek kezdő és végpontja egybeesik: $vec(BB)=vec 0$. A nullvektor hossza 0, és megállapodunk abban, hogy iránya (állása) tetszőleges lehet. Mondhatjuk tehát, hogy a nullvektor minden vektorral párhuzamos és minden vektorra merőleges is, minden vektorral egyirányú, és minden vektorral ellentétes irányú is. A nullvektor az eltolások közé sorolt változatlanul hagyásnak az eltolásvektora.

Megjegyzés

Vektorok és a fizika

A vektorok történetileg a fizikában szerepeltek. Sok vektorral jellemezhető, vektoriális mennyiség szerepel a fizikában. Ilyenek pl. a sebesség, a gyorsulás, az erő.

Prezentáció

GeoGebra alkalmazás
Segítség
: A jobb felső sarokban található ellipszissel visszaállítható a kezdeti állapot.


Java szükséges
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now) A rajzlapon az a, b, c egyenesek párhuzamosak egymással. Az a egyenesen található az $vec(AB)=vec u$. Az A pont megragadható és szabadon vonszolható a rajzlapon.
A C és E pontok tetszőleges pontjai a b ill. c egyenesnek. Az E pont két azonos abszolútértékű vektor közös kezdőpontja: a $vec w$ és $vec z$ vektoroké. E két vektor egymás ellentettje, mivel azonos a tartóegyenesük, hosszúságuk megegyezik, de ellentétes irányúak.
A rajzlapon található összes vektor párhuzamos egymással. Hosszúságuk megváltoztatható, ha a B pontot elmozgatjuk.
Ellenőrző kérdések

1. Mit nevezünk vektornak?
Válasz:
2. Milyen adatok jellemzik a vektort?
Válasz:
3. Hogyan nevezzük másképp a vektor hosszát?
Válasz:
4. Mikor egyenlő két vektor?
Válasz:
5. Mikor párhuzamos két vektor?
Válasz:
6. Milyen mennyiségeket nevezünk skalárnak?
Válasz:
7. Melyik geometriai transzformáció kapcsolódik szorosan a vektorokhoz?
Válasz:
8. Mikor mondunk egy vektort nullvektornak?
Válasz:
9. Milyen különleges tulajdonsága van a nullvektornak?
Válasz:

PROGRAMOK

GeoGebra osztrák program

A program honlapja

A geometriai szerkesztő program segítségével készültek az ábrázolások.