A szinusz- és koszinuszfüggvények tulajdonságai

A szinusz- és a koszinuszfüggvények tulajdonságai

2007. május 14., hétfő

A definíció ismeretében érdemes összegyűjteni a szinusz- és koszinuszfüggvények legfontosabb tulajdonságait.

Az felhasznált GeoGebra fájlokat az oldal alján lehet letölteni.

Pitagoraszi azonosság

Tétel

Láttuk már korábban, hogy ha `alpha` hegyesszög, azaz `0< alpha < pi/2`, akkor ` sin^2alpha+cos^2alpha=1 `. A szinusz- és koszinuszfüggvény definíciója és a Pitagorasz-tétel alapján könnyen belátható, hogy tetszőleges `alpha` valós szám (radiánban megadott szög) esetén teljesül a Pitagoraszi azonosság:

` sin^2alpha+cos^2alpha=1 `

Tétel: tetszőleges forgásszög esetén igaz, hogy a forgásszög szinuszának és koszinuszának négyzetösszege (négyzeteinek összege) 1-gyel egyenlő.

Szög és 90°-os elforgatottja

Bizonyítás

Ha az `alpha` szögű `vec e(e_1;e_2)` egységvektort `pi/2`-vel forgatjuk tovább, akkor a kapott `vec e'` koordinátái `(-e_2;e_1)`.

` sin(alpha+pi/2)=cos alpha,` `cos(alpha+pi/2)=-sin alpha`

Szög és szög ellentettjének szögfüggvényei

Értelmezés

Ha az `alpha` szögű `vec e` vektor koordinátái `(e_1;e_2)`, akkor a `-alpha` szögű (az `alpha` ellentettje) `vec e'` koordinátái `(e_1;-e_2)`. Az `vec e'` vektor és az `vec e` vektor egymás tükörképei az `x` tengelyre vonatkozóan.

` sin(- alpha)=- sin alpha,` `cos(- alpha)=cos alpha`

Az első állítás geometriai következménye: a szinusz függvény grafikonja szimmetrikus az origóra (másképp: a szinusz függvény páratlan); a koszinusz függvény grafikonja szimmetrikus a második tengelyre (másképp a koszinusz függvény páros).

Nevezetes szögek szögfüggvényei

Pontos értékek

Nevezetes szögek szögfüggvényei - pontos értékek

Periodikus tulajdonság

Értelmezés

Ha egy `vec e` vektor `alpha` szöget zár be az ` vec i`-vel, akkor az origó körül pozitív irányban forgatva egy teljes körülfordulás után újra ugyanezt az `vec e` vektort kapjuk, tehát

` sin(alpha + 2pi)=sin alpha,` `cos(alpha + 2pi)=cos alpha `

Ezt a tulajdonságot úgy szokás megfogalmazni, hogy a szinusz- és koszinuszfüggvények `2pi` szerint periodikusak. Általában, ha az `alpha` szöghöz `2pi` egész számú többszörösét hozzáadjuk vagy kivonjuk, a szinusz- és koszinusz értéke nem változik.

Szög és pótszögének szögfüggvényei

Bizonyítás

Fontos és érdekes kapcsolat van az `alpha` szögű `vec e` és a `(pi/2-alpha)` szögű `vec e'` vektorok koordinátái között. Könnyű észrevenni, hogy a két vektor egymásnak az `y = x` egyenletű egyenesre vonatkozó tükörképe. Ennek megfelelően a koordináták felcserélődnek, tehát

` sin(pi/2-alpha)=cos alpha,` `cos(pi/2-alpha)=sin alpha`

Szögfüggvények kiszámítása visszavezetéssel

Gyakorlat

A függvénytáblázat 26-27. oldalán megtaláljuk a szinusz- és koszinusz függvények értékeit megmutató számtáblázatot, de csak hegyesszögekre. Az egységkörös definíció segítségével megmutatjuk, hogyan lehet kiszámítani tetszőleges szög esetén a függvényértékeket.

II. síknegyedbe eső szögekre vagyis `pi/2 < alpha < pi`: tükrözd az egységvektort az Y tengelyre, majd a hegyesszögű egységvektor koordinátáit vesd össze a tompaszögűével.

`cos(alpha)=-cos(180°-alpha),` `sin(alpha)=sin(180°-alpha)`

III. síknegyedbe eső szögekre vagyis `pi < alpha < (3pi)/2`: tükrözd az egységvektort az origóra, majd a hegyesszögű egységvektor koordinátáit vesd össze az eredetivel.

`cos(alpha)=-cos(alpha-180°),` `sin(alpha)=-sin(alpha-180°)`

IV. síknegyedbe eső szögekre vagyis `(3pi)/2 < alpha < 2pi`: tükrözd az egységvektort az X tengelyre, majd a hegyesszögű egységvektor koordinátáit vesd össze az eredetivel.

`cos(alpha)=cos(360°-alpha),` `sin(alpha)=-sin(360°-alpha)`

Szögfüggvények értékeinek számítása

Számolás

Szinusz és koszinusz értékek

fok=30; cos(fok*(pi/180)) A forgásszög első koordinátája $=>$

fok=45; sin(fok*(pi/180)) A forgásszög első koordinátája $=>$

Használat: a kalkulátor csak radiánban dolgozik (ezért kell megszorozni `pi/180`-al a `fok`ban megadott szögeket).
A lehetséges konstansok és függvények:
+, -, *, /, ^, pi, e, sqrt(), ln(), abs(), sign(), floor(), ceil(), n!, C(n,k), ran(a,b,n) sin(), cos(), tan(), sin^-1(), cos^-1(), tan^-1(), sinh(), cosh(), tanh(), sinh^-1(), cosh^-1(), tanh^-1() sec(), csc(), cot(), sec^-1(), csc^-1(), cot^-1(), sech(), csch(), coth(), sech^-1(), csch^-1(), coth^-1()
Az értékek tárolásához változókat kell használni. A `;` (pontosvessző)-vel választjuk el a kifejezéseket.