A szinusz- és koszinuszfüggvények tulajdonságai
A szinusz- és a koszinuszfüggvények tulajdonságai
2007. május 14., hétfő
A definíció ismeretében érdemes összegyűjteni a szinusz- és koszinuszfüggvények legfontosabb tulajdonságait.
Az felhasznált GeoGebra fájlokat az oldal alján lehet letölteni.
Pitagoraszi azonosság
Tétel
Láttuk már korábban, hogy ha `alpha` hegyesszög, azaz `0< alpha < pi/2`, akkor ` sin^2alpha+cos^2alpha=1 `. A szinusz- és koszinuszfüggvény definíciója és a Pitagorasz-tétel alapján könnyen belátható, hogy tetszőleges `alpha` valós szám (radiánban megadott szög) esetén teljesül a Pitagoraszi azonosság:
` sin^2alpha+cos^2alpha=1 `
Tétel: tetszőleges forgásszög esetén igaz, hogy a forgásszög szinuszának és koszinuszának négyzetösszege (négyzeteinek összege) 1-gyel egyenlő.
Szög és 90°-os elforgatottja
Bizonyítás
Ha az `alpha` szögű `vec e(e_1;e_2)` egységvektort `pi/2`-vel forgatjuk tovább, akkor a kapott `vec e'` koordinátái `(-e_2;e_1)`.
` sin(alpha+pi/2)=cos alpha,` `cos(alpha+pi/2)=-sin alpha`
Szög és szög ellentettjének szögfüggvényei
Értelmezés
Ha az `alpha` szögű `vec e` vektor koordinátái `(e_1;e_2)`, akkor a `-alpha` szögű (az `alpha` ellentettje) `vec e'` koordinátái `(e_1;-e_2)`. Az `vec e'` vektor és az `vec e` vektor egymás tükörképei az `x` tengelyre vonatkozóan.
` sin(- alpha)=- sin alpha,` `cos(- alpha)=cos alpha`
Az első állítás geometriai következménye: a szinusz függvény grafikonja szimmetrikus az origóra (másképp: a szinusz függvény páratlan); a koszinusz függvény grafikonja szimmetrikus a második tengelyre (másképp a koszinusz függvény páros).
Nevezetes szögek szögfüggvényei
Pontos értékek
Periodikus tulajdonság
Értelmezés
Ha egy `vec e` vektor `alpha` szöget zár be az ` vec i`-vel, akkor az origó körül pozitív irányban forgatva egy teljes körülfordulás után újra ugyanezt az `vec e` vektort kapjuk, tehát
` sin(alpha + 2pi)=sin alpha,` `cos(alpha + 2pi)=cos alpha `
Ezt a tulajdonságot úgy szokás megfogalmazni, hogy a szinusz- és koszinuszfüggvények `2pi` szerint periodikusak. Általában, ha az `alpha` szöghöz `2pi` egész számú többszörösét hozzáadjuk vagy kivonjuk, a szinusz- és koszinusz értéke nem változik.
Szög és pótszögének szögfüggvényei
Bizonyítás
Fontos és érdekes kapcsolat van az `alpha` szögű `vec e` és a `(pi/2-alpha)` szögű `vec e'` vektorok koordinátái között. Könnyű észrevenni, hogy a két vektor egymásnak az `y = x` egyenletű egyenesre vonatkozó tükörképe. Ennek megfelelően a koordináták felcserélődnek, tehát
` sin(pi/2-alpha)=cos alpha,` `cos(pi/2-alpha)=sin alpha`
Szögfüggvények kiszámítása visszavezetéssel
Gyakorlat
A függvénytáblázat 26-27. oldalán megtaláljuk a szinusz- és koszinusz függvények értékeit megmutató számtáblázatot, de csak hegyesszögekre. Az egységkörös definíció segítségével megmutatjuk, hogyan lehet kiszámítani tetszőleges szög esetén a függvényértékeket.
II. síknegyedbe eső szögekre vagyis `pi/2 < alpha < pi`: tükrözd az egységvektort az Y tengelyre, majd a hegyesszögű egységvektor koordinátáit vesd össze a tompaszögűével.
`cos(alpha)=-cos(180°-alpha),` `sin(alpha)=sin(180°-alpha)`
III. síknegyedbe eső szögekre vagyis `pi < alpha < (3pi)/2`: tükrözd az egységvektort az origóra, majd a hegyesszögű egységvektor koordinátáit vesd össze az eredetivel.
`cos(alpha)=-cos(alpha-180°),` `sin(alpha)=-sin(alpha-180°)`
IV. síknegyedbe eső szögekre vagyis `(3pi)/2 < alpha < 2pi`: tükrözd az egységvektort az X tengelyre, majd a hegyesszögű egységvektor koordinátáit vesd össze az eredetivel.
`cos(alpha)=cos(360°-alpha),` `sin(alpha)=-sin(360°-alpha)`
Szögfüggvények értékeinek számítása
Számolás
Szinusz és koszinusz értékek
A forgásszög első koordinátája $=>$
A forgásszög első koordinátája $=>$
Használat: a kalkulátor csak radiánban dolgozik (ezért kell megszorozni `pi/180`-al a `fok`ban megadott szögeket).
A lehetséges konstansok és függvények:
+, -, *, /, ^, pi, e, sqrt(), ln(), abs(), sign(), floor(), ceil(), n!, C(n,k), ran(a,b,n)
sin(), cos(), tan(), sin^-1(), cos^-1(), tan^-1(), sinh(), cosh(), tanh(), sinh^-1(), cosh^-1(), tanh^-1()
sec(), csc(), cot(), sec^-1(), csc^-1(), cot^-1(), sech(), csch(), coth(), sech^-1(), csch^-1(), coth^-1()
Az értékek tárolásához változókat kell használni. A `;` (pontosvessző)-vel választjuk el a kifejezéseket.
PROGRAMOK
GeoGebra - osztrák program
A program honlapja
Az ábrázolások a geometriai szerkesztő program segítségével készültek.