A körcikk kerülete és területe

A körcikk

Meghatározás

Egy húr végpontjaihoz vezető sugarak két középponti szöget határoznak meg (AOB ill. BOA). A húrhoz tartozónak e két szög kisebbikét mondjuk. A húrhoz tartozó középponti szög nagysága mindig egyértelműen meghatározott, hiszen átmérő esetében két 180°-os szögtartományhoz jutunk.

Definíció: A körlemeznek és egy középponti szög tartományának a közös részét körcikknek mondjuk.

A körcikket egy körív és ennek a végpontjaihoz vezető két sugár határolja. A körcikk alakját a szöge és a két sugara egyértelműen meghatározza. Egy átmérő a körlemezt két félkörre, 180°-os körcikkre bontja föl. A teljes körlemezt (kört) 360°-os körcikknek is tekinthetjük.

Körív

A körív hosszának kiszámítása

Egy körben az egyenlő középponti szögekhez tartozó, egybevágó körívek hossza egyenlő, és az egymáshoz csatlakozó ívek hosszának összege az általuk alkotott teljes ív hossza.

Tétel: Egy kör íveinek hossza középponti szögükkel (egyenesen) arányos.
Képlettel:
$(i_alpha)/(i_beta)=alpha/beta$, ahol $i_alpha$ az $alpha$ középponti szöghöz tartozó ívhosszt jelenti. Most használjuk föl, hogy a teljes körcikkhez 360°-os középponti szög tartozik: $(i_alpha)/(2rpi)=(alpha°)/(360°) => i_alpha=(alpha°)/(180°)rpi$.

Ha radiánban megadott szöggel ($hat alpha$) dolgozunk, akkor: $(i_alpha)/(2rpi)=(hat alpha)/(2pi) rArr i_alpha=r*hat alpha$.

Hasonlítsuk össze $i_alpha$ kétféle kifejezését: $(alpha°)/(180°)rpi=r*hat alpha$.
Kapunk egy átszámítási képletet a fokban ill. radiánban megadott szögek között: $pi/(180°)*(alpha°)=hat alpha$ azaz $0,01745*(alpha°)=hat alpha$.

A körcikk

A körcikk területének kiszámítása

Tétel: Egy kör körcikkeinek területe középponti szögükkel (egyenesen) arányos.

Képlettel:
$(t_alpha)/(t_beta)=alpha/beta$, ahol $t_alpha$ az $alpha$ középponti szöghöz tartozó körcikk területét jelenti. Most használjuk föl, hogy a teljes körcikkhez 360°-os középponti szög tartozik: $(t_alpha)/(r^2*pi)=(alpha°)/(360°) => t_alpha=(alpha°)/(360°)r^2*pi$.

Ha radiánban megadott szöggel ($hat alpha$) dolgozunk, akkor: $(t_alpha)/(r^2pi)=(hat alpha)/(2pi) rArr t_alpha=(r^2*hat alpha)/2$.

Használjuk fel a területképletben a bal oszlopból az $i_alpha=hat alpha*r$ képletet. A körcikk területe tehát: $t_alpha=(i_alpha*r)/2$.
Megjegyzés: A körcikket úgy képzelhetjük, mint egy "görbealapú háromszöget", amelynek "alapja" a körív, "magassága" a sugár. Így területének képlete könnyen megjegyezhető.


Példák

Kör kerülete és területe

Egyszerű alkalmazások

$darr$Mindent kinyit$darr$$uarr$Mindent bezár$uarr$

Mekkora az egység sugarú kör kerülete?
A válasz: $k_(r=1)=2*1*pi=2pi=6,28$
És az egység sugarú kör területe?
$t_(r=1)=1^2*pi=pi$

Feladatok körcikkekre

Alapszámítások

$darr$Mindent kinyit$darr$$uarr$Mindent bezár$uarr$

Mekkora az egység sugarú körben egy 45°-os körcikk területe?
A válasz: a 45° a teljes szög nyolcada, tehát a körcikk területe is a kör területének nyolcada lesz: $t=1/8*1^2*pi=pi/8$.
Mekkora az egységsugarú körben a sugárnyi ívhosszhoz tartozó körcikk területe?
Használjuk a képletet: $t_alpha=(i_alpha*r)/2=(1*1)/2=1/2$. Ellenőrizzük a számításunkat: az egység sugarú kör területe $pi$. Az egységnyi ívhosszhoz 1 radiánnyi a középponti szög, tehát: $1/(2pi)=t/pi text( )rarr t=1/2$.