A trigonometrikus függvények

2007. május 26., szombat

A valós számok halmazán értelmezett `f(x)=sin(x), g(x)=cos(x)` utasítású függvényeket szinusz- ill. koszinuszfüggvénynek nevezzük.
Az `y=sin(x), y=cos(x)` egyenleteket a szinuszfüggvény ill. koszinuszfüggvény grafikonja egyenletének is nevezik. Ha ebbe az egyenletbe a koordinátasík egy pontjának koordinátáit helyettesítjük, akkor az egyenlőség csak a grafikon pontjainak koordinátái esetén lesz igaz.

A szinuszfüggvény jellemzése

Értelmezési tartomány: `D_f=R`, másképp `AAx in R`, minden valós szám (a számok radiánban mért forgásszöget jelentenek)
Értékkészlet: `R_f=[-1;1]` másképp `R_f={x in R | -1<=x<=1}`, a -1;1 zárt intervallum. Mivel az értékkészletnek van legnagyobb ill. legkisebb eleme `=>` a függvénynek van szélsőértéke.
Szélsőérték helyek: minimum ott van, ahol a függvényérték -1: `sin(x)=-1`. A lehetséges minimum-helyek: `x=-pi/2; (3pi)/2; ...` röviden: `x=-pi/2+2k*pi,` ahol `k in Z`. Maximum ott van, ahol a függvényérték 1: `sin(x)=1`. A lehetséges maximum-helyek: `x=pi/2; (5pi)/2; ...` röviden: `x=pi/2+2k*pi,` ahol `k in Z`.
A szélsőértékek nagysága: a minimumok értéke `-1`, a maximumok értéke `1`.
A függvény menete: a grafikon un. szinuszhullám, ami a periodikusság miatt `2pi`-nként ismétlődik. Az alábbi táblázat mutatja a növekedési viszonyokat és egyéb tulajdonságokat.

A szinuszfüggvény

` x ` változó értékei`-pi/2 < x < pi/2``x = pi/2``pi/2 < x < (3pi)/2``x = (3pi)/2`
`sin(x)` függvényértékekszig.mon.növekedés
zérushely `x=0`-nál
maximum helyszig.mon.csökkenés
zérushely `x=pi`-nél
minimum hely
`x` változó értékei`x = 0``0< x < pi``x = pi``pi < x < 2pi`
`cos(x)` függvényértékekmaximumhelyszig.mon.csökkenés
zérushely `pi/2`-nél
minimum helyszig.mon.növekedés
zérushely `x=(3pi)/2`-nél

Táblázat A szögfüggvények menete, zérushelyei

A koszinuszfüggvény

A koszinuszfüggvény jellemzése

Értelmezési tartomány: `D_f=R`, másképp `AAx in R`, minden valós szám (a számok radiánban mért forgásszöget jelentenek)
Értékkészlet: `R_f=[-1;1]` másképp `R_f={x in R | -1<=x<=1}`, a -1;1 zárt intervallum. Mivel az értékkészletnek van legnagyobb ill. legkisebb eleme `=>` a függvénynek van szélsőértéke.
Szélsőérték helyek: minimum ott van, ahol a függvényérték -1: `cos(x)=-1`. A lehetséges minimum-helyek: `x=-pi; pi; 3pi;...` röviden: `x=-pi+k*2pi,` ahol `k in Z`. Maximum ott van, ahol a függvényérték 1: `cos(x)=1`. A lehetséges maximum-helyek: `x=0; 2pi; 4pi;...` röviden: `x=2k*pi,` ahol `k in Z`.
A szélsőértékek nagysága: a minimumok értéke `-1`, a maximumok értéke `1`.
A függvény menete: a grafikon un. szinuszhullám, ami a periodikusság miatt `2pi`-nként ismétlődik. A fenti táblázat mutatja a növekedési viszonyokat és egyéb tulajdonságokat.

 Trigonometrikus függvények

 PROGRAMOK

GeoGebra osztrák program

A program honlapja

A geometriai szerkesztő program segítségével készültek az ábrázolások.

Az oldalon használt Geogebra fájlok letöltése